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三元一次方程组解法举例 教育规划

§8.4 三元一次方程组解法举例

教材剖析

本课的首要内容是学习三元一次方程组的解法,因为三元一次方程组相关常识与二元一次方程组相似,所以先结合实例运用类比法学习三元一次方程组的有关概念,然后使用消元思想解三元一次方程组.尽管三元一次方程组与二元一次方程组的解法有许多相似之处,究竟三元一次方程组杂乱得多,所以在学习的进程中,要点处理好与二元一次方程组解法中不同的环节,在比较的进程中学习新常识,使学生抵消元思想有更深层次的知道,能将这种思想搬迁到处理四元一次方程组、五元一次方程组……等问题中.

列三元一次方程组处理实践问题尽管不是这节课的要点,不过它有助于学生了解为什么要学习一元高次方程组的解法以及数学与日子的密切联络,一起也可认为今后学习二次函数做一些预备,所以有必要做一部分较简略的实践使用题.

在了解运用消元思想办法的一起,调查剖析及运算才能也是这节课操练的要点内容,留意在使用的进程中培育学生的杰出思想、表达习气.

【课时分配】1课时

【教育要点与难点】

教育要点:会精确、迅速地解三元一次方程组

教育难点:依据方程组的特色确认先消哪个元,怎样消?

【教育方针】

1. 会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组,进步运算技术.

2. 经过解三元一次方程组,进一步领会“消元化归”思想.

3. 经过学习领会前后常识之间、数学与日子之间的密切联络,开展使用认识.

【教育办法】

使用一个详细问题,在温习已有常识的基础上类比学习学习新内容.教师为学生供给部分学习资料,创设调和和谐积极向上的学习气氛,学生在独立考虑的基础上与同学沟通协作,教师的辅导与学生的探求有机结合,使学生在测验中开展、进步.

【教育进程】

一、创设情境 提出问题

(规划阐明:使用一个既能用二元一次方程组处理,又能用三元一次方程组处理的问题,让学生在处理问题的进程中,天然过渡到新常识的学习.)

导语:经过以上几节课的学习,咱们不只知道了什么是二元一次方程、二元一次方程组,而且还能使用他们来处理许多实践问题,这些问题中的未知数有两个.假设问题中的未知数多于两个,你能处理吗?请咱们测验处理下面的问题.

问题:小明手头有12张面额别离为1元、2元、5元的纸币,合计22元,其间1元的纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张?

解法一:设1元、2元、5元的纸币别离为x张、y张,则5元的纸币(12-x-y)张,依据题意得 x+2y+5(12-x-y)=22

x=4y

解得

x=8

y=2

∴12-x-y=12-8-2=2

答:1元、2元、5元的纸币别离有8张,2张,2张.

解法二:设1元、2元、5元的纸币别离为x张、y张、z张

依据题意,得:

x+y+z=12 ①

x+2y+5z=22 ②

x=4y ③

大都同学会列二元一次方程组回答,也或许会有同学列出三元一次方程组,教师留意调查,请学生介绍自己的主意及遇到的问题.假设没有学生列三元一次方程组,教师能够提出问题:假设设三个未知数,会得到那些关系式?结合详细式子学习三元一次方程组的相关常识.

(教育阐明:教师提出问题,学生测验处理,教师结合学生的详细情况灵敏调控:或顺势进入新课学习,或提出新的问题将学生引导到先课内容上来.)

二、探求新知 处理问题

1.三元一次方程组的有关概念:

(规划阐明:结合实例,用类比法学习三元一次方程族的有关概念)

(1) 三元一次方程

结合前面得到的三个方程学习相关概念

x+y+z=12 ①

x+2y+5z=22 ②

x=4y ③

教师:咱们知道,方程③是二元一次方程,方程①、②呢?你能说出它们的特色吗?

界说:含有三个未知数,而且含有未知数的项的次数都是1,这样的整式方程方程叫做三元一次方程

(2)三元一次方程组

这个问题的解有必要一起满意上面三个条件,因而,咱们

把这三个方程合在一起,写成

x+y+z=12

x+2y+5z=22

x=4y

这个方程组含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都 是1,而且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组

(教育阐明:因为三元一次方程组的概念比较简略了解,结合实例师生以说话的办法处理即可)

过渡:假设能把三元一次方程组的解求出来,问题就处理了,那么这个方程组怎样解呢?请打家回忆几个问题:解二元一次方程组的根本思路是什么?-----消元,将二元方程组转化成一元一次方程详细办法是什么?------代入消元法、加减消元法, 能否用相似的办法解三元一次方程组呢?

2. 三元一次方程组的解法

问题1 解方程组

(规划阐明:使用列出的方程组探求三元一次方程组的解法,领会消元思想的含义)

x+y+z=12 ①

x+2y+5z=22 ②

x=4y ③

(1) 辅导思想:将三元一次方程组转化成二元一次方程组

(2)详细做法:经过①③消去未知数z,得到关于x,y的方程,与②组成二元一次方程组,先求出x,y,再求出z

(3)回答进程:①×5-②,得4x+3y=38 ④

解由③④组成的方程组, x=4y ③

4x+3y=38 ④

x=8

y=2

把x=8,y=2代入①,得 z=2

∴原方程组的解为

x=8

y=2

z=2

(教育阐明:师生一起剖析思路,有学生独立测验写出回答进程,结合板演修订并整理首要路子:有必要先确认消去哪个未知数,然后将三元一次方程组转化为二元一次方程组,最终要写出方程组的解)

问题2 解三元一次方程组

3x+4z=7 ①

2x+3y+z=9 ②

5x-9y+7z=8 ③

(规划阐明:因为这个方程组与问题1中的方程组解法相似,仅仅核算稍加杂乱,所以使用它进一步了解解三元一次方程组的根本进程,操练学生的调查才能及运算技术)

解:②×3+③ ,得

11x+10z=35 ④

①与④组成方程组

3x+4z=7

11x+10z=35

解这个方程组,得 x=5

z=-2

把x=5,z=-2代入②,得y=

因而,三元一次方程组的解为

x=5

y=

z=-2

(教育阐明:学生独立完结,一名同学板演.结合呈现的问题及时点评,使学生领会到思路清晰并不代表能做对,使学生养成仔细、仔细的杰出习气.)

问题3 在等式 y=ax2+bx+c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.

求a,b,c的值

(规划阐明:问题3是三元一次方程组的简略使用,使用这个标题,一方面让学生领会使用三元一次方程组能够处理问题,另一方面进一步探求三元一次方程组的一般解法,进步学生的调查剖析才能与运算技术.)

剖析:(1)依据题意,列出关于a,b,c的三元一次方程组,经过解方程组,求出a,b,c的值.

(2)方程组中的每一个方程都含有三个未知数,这是和前面的方程组不同的当地,因而它的解法也有所区别.因为c的系数最简略,所以先消去c.用②-①,③-①别离得到两个关于a,b的二元一次方程,解由它们组成的方程组就能够求出a,b,的值,然后再求出c的值.

解:依据题意,得三元一次方程组

a-b+c= 0 ①

4a+2b+c=3 ②

25a+5b+c=60 ③

②-①, 得 a+b=1 ④

③-①,得 4a+b=10 ⑤

④与⑤组成二元一次方程组

a+b=1

4a+b=10

解这个方程组,得

a=3

b=-2

把 a=3 代入①,得

b=-2

c=-5

因而

a=3

b=-2

c=-5

答:a=3, b=-2, c=-5.

概括:解三元一次方程组的一般进程

1.调查方程组的系数特色,确认先消哪个未知数.

2.消元,得到一个二元一次方程组.

3.解二元一次方程组,求出两个未知数的值.

4.求出第三个未知数的值,写出方程组的解.

(教育阐明:师生一起剖析解题思路,然后由学生写出回答进程,最终概括解三元一次方程组的一般进程及留意事项.)

三、稳固操练 娴熟技术

(规划阐明:经过操练,把握三元一次方程组的解法,构成开始运算技术)

教材114页操练1,2

(教育阐明:独立完结,及时修订,留意解题的标准与核算的精确)

四、反思总结 心意开展

(规划阐明:环绕三个问题,师生以说话沟通的方式,一起总结本节课的学习收成。)

问题1:本节课你学习了什么?

问题2:本节课你有哪些收成?

问题3:经过今日的学习,你想进一步探求的问题是什么?

(教育阐明:以上规划再次经过对三个问题的考虑引导学生回忆自己的学习进程,各抒己见,加强反思、提炼及常识的概括,归入自己的常识结构)

五、讲堂小结

1.本节首要学习三元一次方程组的解法.

2.首要用到的思想办法是消元思想:将三元一次方程组转化成二元一次方程.

3.留意的问题:

(1)先消哪个未知数,怎样消元,取决于方程组的系数特色,要仔细调查,挑选较简略的办法.

(2)消元时,两次消去的有必要是同一个“元”.

(3)解出方程组时要仔细,在精确的基础上进步运算速度.

六、安置作业

1、必做题:讲义114页习题1,2,3

2.选做题:讲义115页习题4,5;119页温习题 11

(教育阐明:及时作业是稳固讲堂学习常识的重要环节,操练题三元一次方程组的解法)

七、拓宽操练

(规划阐明:在学习基础常识的基础上,拓宽学生思想,进步学生的学习爱好。)

1. 假设方程组的解使代数式kx+2y -3z的值为10,则k=( )

提示:解方程组求出x,y,z的值代入kx+2y -3z=10即可求出k的值.

2. 有甲、乙、丙三种产品,假设购甲3件、乙2件,丙1件共需315元钱,购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱,那么购甲、乙、丙三种产品各一件共需 元钱.

提示:设甲、乙、丙三种产品的价格别离是x元,y元,z元,则

3x+2y+z=315①

x+2y+3z=285②

①+②,得 4(x+y+z)=600

∴x+y+z=150

3.为保证信息安全,信息需求加密传输,发送方由明文对应密文(加密),接收方由密文对应明文(解密)已知加密规则为明文x,y,z对应密文为2x+3y,3x+4y,3z.例如:明文1,2,3对应密文8,11,9当接收方收到密文12,17,27时,则解密得到的明文为 解析:本题仔细剖析一下能够知道这是一道三元一次方程组的问题,由题意可设这三个明文数字为x,y,z得 2x+3y=12 x=3 3x+4y=17 解得y=2 3z=27 z=9

所以,解密得到的明文为3,2,9

(教育阐明:教育时可依据实践做调整,要让学生充沛的协作沟通,一起处理问题)

【点评与反思】

1.因需求而学习,在使用中开展:结合实践问题引进三元一次方程组的有关概念,为处理详细问题研讨三元一次方程组的解法,把握解法之后处理新的更多更杂乱的问题,使学生头脑中树立这样的联络----学以致用

2.类比搬迁,触类旁通:类比二元一次方程组的常识学习三元一次方程组,并进一步使用于解其它一元高次方程组.一起,依据方程组的特色灵敏挑选恰当的解法,在使用的进程中构成技术技巧.

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